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Forum "Algebra" - Körper
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Körper: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Do 11.01.2018
Autor: Franzi17

Aufgabe
a) z.Z.: [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist Körper
b) [mm] z.Z.:\IR/(x^3+1) [/mm] ist Körper

Bei der a.)
Wollte ich zuerst zeigen, dass [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] Unterring von [mm] \IR [/mm] ist
also
1.) 1 [mm] \in \IR [/mm] in [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
2.) für alle x,y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist x-y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]

Bei 1.) und 2.) gab es keine Probleme
bei 3.) für alle x,y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ist x*y [mm] \in \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
habe ich folgendes Problem:

(a + [mm] \wurzel[3]{2}b)(c [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2}d) [/mm] =
=  ac + [mm] \wurzel[3]{2}bc [/mm] + [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] ad + 2^(2/3)*bd =
= ac + (bc + [mm] ad)\wurzel[3]{2}] [/mm]  + 2^(2/3)*bd

wobei ac [mm] \in \IQ, [/mm] bc+ ad [mm] \in \IQ, [/mm] da [mm] \IQ [/mm] Körper
aber 2^(2/3)*bd ist nicht [mm] \in \IQ [/mm]

aber damit wäre [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] multiplikativ ja nicht abgeschlossen??


bei der b.)
hatte ich versucht mit eine Abbildung zu konstruieren, von
[mm] \IR[x] [/mm] -> [mm] \IC [/mm]
die Konstanten auf Konstanten schickt und
x --> 1/2 + [mm] \wurzel{3}*i/2 [/mm]
ich wollte zeigen dass [mm] (x^3 [/mm] + 1) der Kern der Abbildung ist und
die Abbildung surjektiv. also [mm] \IR/(x^3+1) [/mm] isomorph zu [mm] \IC [/mm]

aber die Abbildung ist nicht surjektiv
und ich glaube ich bin vollkommen auf dem Holzweg.

Ich wäre sehr froh um Tipps!
Vielen Dank


        
Bezug
Körper: zu a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:43 Do 11.01.2018
Autor: HJKweseleit


> a) z.Z.: [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist Körper
>  b) [mm]z.Z.:\IR/(x^3+1)[/mm] ist Körper
>  Bei der a.)
>  Wollte ich zuerst zeigen, dass [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
> Unterring von [mm]\IR[/mm] ist
>  also
> 1.) 1 [mm]\in \IR[/mm] in [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  2.) für alle x,y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist x-y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  
> Bei 1.) und 2.) gab es keine Probleme
>  bei 3.) für alle x,y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] ist x*y [mm]\in \IQ[\wurzel[3]{2}][/mm]
>  
> habe ich folgendes Problem:
>
> (a + [mm]\wurzel[3]{2}b)(c[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}d)[/mm] =
>  =  ac + [mm]\wurzel[3]{2}bc[/mm] + [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] ad + 2^(2/3)*bd =
>  = ac + (bc + [mm]ad)\wurzel[3]{2}][/mm]  + 2^(2/3)*bd
>  
> wobei ac [mm]\in \IQ,[/mm] bc+ ad [mm]\in \IQ,[/mm] da [mm]\IQ[/mm] Körper
>  aber 2^(2/3)*bd ist nicht [mm]\in \IQ[/mm]
>  
> aber damit wäre [mm]\IQ[\wurzel[3]{2}][/mm] multiplikativ ja nicht
> abgeschlossen??

Doch. Zu [mm] \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] gehören alle Produkte der Linearkombinationen a + [mm] b\wurzel[3]{2}. [/mm]  Und deshalb nimmst du das Element [mm] (\wurzel[3]{2})^2=\wurzel[3]{4} [/mm] mit in die Menge auf, und damit auch alle Linearkombinationen der Form

a + [mm] b\wurzel[3]{2}+ c\wurzel[3]{4} [/mm] mit a,b,c [mm] \in \IQ. [/mm]

Da [mm] (\wurzel[3]{2})^3=8 [/mm] wieder [mm] \in \IQ [/mm] ist, ist nun die Menge algebraisch abgeschlossen und bildet den von dir gesuchte Körper.

Bezug
                
Bezug
Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:26 Fr 12.01.2018
Autor: Franzi17

Vielen Dank für die Hilfe!!

Hat jemand einen Tipp bei der b)?
Wäre sehr froh darum
Danke!

Bezug
                
Bezug
Körper: a.)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:02 Do 18.01.2018
Autor: Franzi17

Hallo,
Ich habe nochmals eine Frage zur a.)
Ich hab nach deiner Antwort
[mm]  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] als [mm] ={a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c} [/mm]  mit a,b,c [mm] \in \IQ [/mm] aufgefasst

Damit sind die Axiome, dass es eim Unterring vom [mm] \IR [/mm] gut zu zeigen.
Ich habe jetzt jedoch Probleme damit zusätzlich zu zeigen dass es für jedes r [mm] \in  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] ein multiplikatives Inverses [mm] \in  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm] gibt

Sei r = [mm] a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c [/mm]
Es existiert ein r^(-1) [mm] \in \IR [/mm]
r^(-1) = [mm] 1/(a+ \wurzel[3]{2}b+  \wurzel[3]{4}c) [/mm]

Meine Idee war mit
[mm] (a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel [3]{4}c)/(a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel[3]{4}c) [/mm]
Zu erweitern.
Das Ergebnis ist
[mm] (a- \wurzel[3]{2}b-\wurzel [3]{4}c)/(a^2 [/mm] - 16bc [mm] -\wurzel [3]{4}b^2 -\wurzel [3]{2}c^2) [/mm]
Ich schaffe damit keine Patrialbruchzerlegung so dass ich zeigen kann das r^(-1) auch [mm] \in [/mm]
[mm]  \IQ[\wurzel[3]{2}] [/mm]
Wäre sehr froh um einen Tipp. Vielen Dank!

Bezug
                        
Bezug
Körper: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 22.01.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mo 15.01.2018
Autor: hippias

b) ist unsinnig und/oder falsch. Korrigiere die Aufgabenstellung doch bitte.

Ich vermute, Du sollst zeigen, dass [mm] $\IR[x]/(x^3+1)$ [/mm] kein Körper ist. Im günstigsten Fall hast Du einen Satz in der Vorlesung, welche Voraussetzungen ein Polynom erfüllen muss, damit der entsprechende Faktorring ein Körper ist, oder Du musst wie im Teil a) die Axiome nachrechnen, bis Du eines findest, das nicht erfüllt ist (es ist meist immer dasselbe).


Bezug
                
Bezug
Körper: b.)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Do 18.01.2018
Autor: Franzi17

Hallo,
bezüglich der b.) war tatsächlich ein Fehler im der Aufgabenstellung vom Übungsblatt.
Es ist zu zeigen, dass [mm] \IR[x]/(x^3+1) [/mm] kein Körper ist.
Ist meine Lösung so korrekt?
Behauptung: es existieren Nullteiler, [mm] (x^3+1) [/mm] ist kein Primideal
Sei ein Polynom P [mm] \im (x^3+1) [/mm] dann existiert ein Q, dass
P [mm] =Q(x^3+1) [/mm]
Daraus folgt: p = 0 oder deg(P) grösser gleich 3
Also sind x+1 und [mm] x^2-x+1 [/mm] nicht [mm] \in (x^3+1) [/mm]
Also: x+1 nicht 0
Und [mm] x^2 [/mm] - ×+1 nicht null
Aber das Produkt der beiden ergibt [mm] x^3+1=0 [/mm]
Damit exisiteren Nullteiler und das Ideal ist kein Primideal

Bezug
                        
Bezug
Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Do 18.01.2018
Autor: sven1

Genau, [mm] $x^3+1$ [/mm] ist nicht irriduzibel in [mm] $\IR[X]$, [/mm] da das Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] 3$ ist, reicht es zu testen, ob es eine Nullstelle hat und $-1$ ist in der Tat eine Nullstelle von diesem Polynom. Das heißt, dass [mm] $x^3+1 [/mm] = [mm] (x+1)(x^2-x+1)$ [/mm] reduzibel in [mm] $\IR$ [/mm] ist, da die Einheiten in [mm] $\IR[X]$ [/mm] genau alle Elemente aus [mm] $\IR$ [/mm] sind außer die Null.

Bezug
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