matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

For pupils, students, teachers.
Hello Guest!Log In | Register ]
Home · Forum · Knowledge · Courses · Members · Team · Contact
Navigation
 Home...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Tools...
 Agency for private tuition beta...
 Online Games beta
 Search
 Registered Society...
 Contact
Forenbaum
^ Tree of Forums
Status Maths
  Status School
    Status Grades 1-4
    Status Grades 5-7
    Status Grades 8-10
    Status Grades 11-12
    Status Mathematical Contest
    Status School maths - Miscellaneous
  Status University
    Status Uni-Calculus
    Status Uni-LinA u. Algebra
    Status Algebra and Number Theoriy
    Status Discrete Mathematics
    Status Teaching Methodology
    Status Financial Maths and Actuarial Theory
    Status Logic and Set Theory
    Status 
    Status Stochastic Theory
    Status Topology and Geometry
    Status Uni Maths - Miscellaneous
  Status Courses on maths
    Status 
    Status 
    Status Universität
  Status Software for maths
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Calculators

Only forums with an interest level bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
The project is organised by our team of coordinators.
Hundreds of members help out in our moderated forums.
Service provider for this webpage is the Registered Society "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Gruppe, Ordnung p^2
Gruppe, Ordnung p^2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gruppe, Ordnung p^2: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 Mo 22.01.2018
Autor: Franzi17

Aufgabe
Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm] p^2, [/mm] wobei p eine Primzahl ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie, dass
n ≤ p + 3.

Hallo,

also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ

Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3 Untergruppen.
Fall 2:
hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x Z/5Z angesehen:
das wären:
die zwei trivialen,
dann:
{(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
{(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
{(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
{(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
{(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))

Was also genau auf die Zahl
p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.

Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh um einen Tipp.
Danke!



        
Bezug
Gruppe, Ordnung p^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 Fr 26.01.2018
Autor: donquijote


> Sei G eine Gruppe der Ordnung [mm]p^2,[/mm] wobei p eine Primzahl
> ist. Sei n die Anzahl der Untergruppen von G. Beweisen Sie,
> dass
>  n ≤ p + 3.
>  Hallo,
>
> also: G ist entweder isomorph zu Z/p^2Z oder Z/pZ x Z/pZ
>  
> Fall 1: G ist isomorph zu Z/p^2Z dann existieren 3
> Untergruppen.
>  Fall 2:
> hier habe ich mir die additiven Untergruppen von Z/5Z x
> Z/5Z angesehen:
> das wären:
> die zwei trivialen,
> dann:
> {(0,0),(0,1),(0,4),(0,2),(0,3)} (erzeugt von (0,1))
>  {(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)} (erzeugt von (1,0))
>   {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,0)} (erzeugt von (1,1))
>   {(0,0),(1,2),(4,3),(2,4),(3,1)} (erzeugt von (1,2))
>   {(0,0),(1,3),(4,2),(2,1),(3,4)} (erzeugt von (1,3))
>   {(0,0),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)} (erzeugt von (1,4))
>  
> Was also genau auf die Zahl
> p + 3 = 5+ 3 = 8 kommt.
>  
> Ich habe jedoch jetzt Schwierigkeiten zu zeigen, dass es
> keine weiteren Untergruppen geben kann und wäre sehr froh
> um einen Tipp.
> Danke!
>  
>  

Hallo,
in einer Untergruppe der Ordnung p ist jedes Element ungleich 0 ein Erzeuger. Ist [mm]x\ne 0[/mm] Element einer Untergruppe H der Ordnung p, so ist H durch x eindeutig festgelegt. Damit kann jeden [mm]x\in G[/mm] mit [mm]x\ne 0[/mm] in maximnal einer Untergruppe der Ordnung p liegen.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status 6h 31m ago 10. donquijote
ULinAMat/Gruppe der inv. Matrizen
Status 2d ago 11. Al-Chwarizmi
STrigoFktn/Cosinus und Arc Cosinus
Status 2d ago 7. Diophant
UAnaR1FunkStetig/Stetigkeit im Nullpunkt
Status 4d ago 1. Prospekthuellen
UStoc/Galton-Watson mit max. Höhe
Status 5d ago 7. maggieNess
Taschenrechner/Tinspire Cx Cas Einstellungen
^ Seitenanfang ^
www.mathspace.org
[ Home | Forum | Knowledge | Courses | Members | Team | Contact ]