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Analyse nach Leontjef < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Analyse nach Leontjef: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Do 22.03.2018
Autor: sancho1980

Hallo!

Bei der Input-Output-Analyse nach Leontjef lautet die Formel zur Ermittlung der Produktionsmenge x:

x = (I - [mm] A)^{-1} [/mm] b

I ... Identitätsmatrix
A ... Produktionsmatrix
b ... externe Nachfrage

In meinem Lehrbuch steht weiters dazu:

"Dabei stellen sich zwei Fragen: Wann ist die Matrix (I − A) invertierbar und wann sind alle Koeffizienten der Inversen nichtnegativ? Die letzte Bedingung ist wichtig, da sich für beliebigen Nachfragevektor b mit [mm] b_{j} [/mm] ≥ 0 auch ein Lösungsvektor x mit [mm] x_{j} [/mm] ≥ 0 ergeben muss! Das ist aber genau dann der Fall, wenn alle Koeffizienten der inversen Matrix (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sind."

Irgendwie verstehe ich die letzte Aussage nicht: Wieso müssen alle Koeffizienten von (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sein, damit alle [mm] x_{j} [/mm] >= 0 sind?
Was ist, wenn gilt:

(I − [mm] A)^{−1} [/mm] := [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 1 } [/mm]
b := [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm]

... dann ist x = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm]

Also sind alle [mm] x_{j} [/mm] >= 0 obwohl nicht "alle Koeffizienten der inversen Matrix (I − [mm] A)^{−1} [/mm] nichtnegativ sind."

Kann mir da einer helfen?

Gruß und Danke,

Martin

        
Bezug
Analyse nach Leontjef: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:50 Do 22.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

du hast völlig recht,  dass es zu einzelnen b durchaus Matrizen geben kann, die auch negative Einträge haben. Das war aber nicht die Aussage des Textes. Dort soll sichergestellt werden, dass für beliebige Vektoren b mit nichtnegativen Einträgen ein Lösungsvektor x mit nichtnegativen Einträgen herauskommt.

Oder anders formuliert: für alle b mit nichtnegativen Einträgen.

Und da kann man eben recht schnell zeigen, dass dann auch alle Koeffizienten der invertierten Matrix nichtnegativ sein müssen.

Gruß
Gono

Bezug
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